Exercícios sobre Multiplicação de Matrizes

01-(Fuvest-SP)
Uma matriz real A é ortogonal se A.A^t=I, onde I indica a matriz identidade e A^{t .}indica a transposta de A.

a)  1/4 

b) √3/4

c) 1/2

d) √3/2 

e) 3/2

Resposta:

Devemos primeiramente calcular o produto da matriz A pela sua matriz transposta, igualando-as à matriz identidade.





Como a matriz é ortogonal, temos que A.AT=I.

Com isso,





Com estas informações podemos montar um sistema através da igualdade de matrizes.





Da primeira equação obtemos que o valor de x é igual a:





Substituindo este valor na segunda equação obtemos uma expressão para z.




Substituindo na terceira equação o valor de z, temos:




A questão pede o valor de x²+y². Como sabemos o valor de cada um, é possível calcular este resultado:




Resposta letra E


02-FGV-SP (questão adaptada)

, de forma que At.B é uma matriz nula, calcule x.y2


Temos que encontrar a matriz transposta de A.



Temos que

Resolvendo a multiplicação das matrizes, temos:




A questão pede o valor de x.y², agora que obtemos o valor de cada um podemos resolver essa expressão.




03-Determine os valores de a e b para que as matrizes sejam comutativas.




04-UFSC


Sejam A=(aij )4x3 e B=(bij )3x4 duas matrizes definidas por aij=i+j e bij=2i+j, respectivamente. Se A.B=C, então qual é o elemento c32 da matriz C?

O elemento requerido é o da terceira linha e da segunda coluna, que é resultado de uma multiplicação de duas matrizes. Sabemos pela propriedade de multiplicação que este elemento é proveniente da multiplicação da terceira linha da matriz A pela segunda coluna da matriz B. Portanto, precisamos escrever apenas estes elementos.

05-Encontre o valor de x e y resolvendo a seguinte igualdade.



Resposta :
Ao resolvermos a multiplicação do lado esquerdo da igualdade, obteremos uma matriz-produto, de forma que poderemos igualar a matriz-produto à matriz do lado direito da igualdade.